Network
BERITA DIY - Simak soal OSN Matematika SMA sederajat dan pembahasannya, dilengkapi kunci jawaban serta caranya, cocok untuk latihan persiapan Olimpiade 2023.
Setiap tahun umumnya akan diadakan Olimpiade Sains Nasional (OSN) yang dapat diikuti oleh seluruh siswa di penjuru Indonesia. Demi mempersiapkan diri, siswa perlu belajar jauh-jauh hari.
Bapak Ibu guru SMA atau siswa SMA dapat menemukan contoh soal OSN Matematika SMA yang dilengkapi pembahasan dan kunci jawaban pada artikel ini.
Soal-soal di bawah dapat menjadi referensi dan bahan belajar tambahan agar siswa dapat menyiapkan diri untuk berkompetisi di OSN 2023.
Soal ini diambil dari laman MAN 1 Indramayu yakni Pembahasan OSN Matematika SMA 2022 tingkat kabupaten yang diunggah pada 26 Mei 2022.
Inilah soal OSN Matematika SMA sederajat dan pembahasannya:
1. Misalkan f(x) = a²x + 300 dan f(20) + f⁻¹(22) = f⁻¹(20) + (22). Maka nilai dari f(1) adalah ….
Pembahasan:
Misalkan y = a²x + 300, maka
y - 300 = a²x
x = (y-300)/a²
-> f⁻¹ (x) = (y-300)/a²
Diketahui f(20) + f⁻¹(22) = f⁻¹(20) + f(22), maka
20a² + 300 + (22-300)/a² = (22-300)/a² + 22a² + 300
2/a² = 2a²
1 = a⁴
a = -1 atau a = 1 (sehingga a² = 1)
maka f(x) = x + 300, dan f(1) = 301
2. Di suatu ruangan terdapat 12 kursi yang disusun menjadi 3 baris. Di baris pertama, terdapat 3 kursi. Di baris kedua terdapat 4 kursi. Di baris ketiga terdapat 5 kursi. Jika kursi akan diduduki 12 siswa termasuk Aska dan Budi.
Misal banyaknya cara untuk 12 siswa menempati tempat duduk jika Aska dan Budi duduk di baris pertama adalah A. Tentukan nilai A/8!.
Pembahasan:
Susunan siswa baris pertama 3!, baris kedua 4!, baris ketiga 5!
Aska dan Budi duduk di baris pertama, maka tersisa 10 siswa yang bisa memilih di baris pertema, kedua, atau ketiga.
Baris pertama ₁₀C₁, baris kedua sebanyak ₉C₄, baris ketiga sebanyak ₅C₅.
A = ₁₀C₁ . 3! . ₉C₄ . 4! . ₅C₅ . 5!
A = 10!/9! . 9!/(5! 4!) . 1 . 3! . 4! . 5!
A = 10! . 3!
Maka,
A/8! = 10! 3!/8!
A/8! = 10 . 9 . 3!
A/8! = 10 . 9 . 3 . 2 . 1
A/8! = 540
3. Diberikan segitiga ABC siku-siku di B. Titik D berada di AB dan E pada AC sehingga DE sejajar BC. Jika AD = 21, BD = 3, dan BC = 32, panjang AE adalah ….
Pembahasan:
Diketahui:
AD = 21
BD = 3
BC = 32
AB = AD + DB = 24
Ditanya AE?
Jawab:
* AC = √(24² + 32²)
AC = √(576 + 1024)
AC = √1600 = 40
ΔABC sebangun dengan ΔADE, maka
AE/AC = AD/AB
AE/40 = 21/24
AE = 21/24 x 40
AE = 35
4. Tentukan nilai x sehingga x² + 20x adalah pangkat tiga dari suatu bilangan prima.
Pembahasan:
x² + 20x = x(x + 20) p³
Kemungkinan hasil pemfaktoran
(x,x + 20) = (1,p³),(p,p²),(p²,p),(p³,1).
Karena x + 20 > x dan x = 1 tidak memenuhi kriteria, maka
(x,x + 20) = (p,p²)
Sehingga x = p dan p + 20 = p²
p² − p − 20 = 0
(p − 5)(p + 4) = 0
p = 5 atau p = −4
Karena p adalah bilangan prima, maka nilai p yang memenuhi kriteria adalah 5.
5. Jika sisa pembagian x²⁰²¹ + x¹⁰¹¹ + x⁵⁰⁶ + x²⁵³ + x¹²⁷ oleh x² − 1 adalah Ax + B, maka tentukan nilai dari 4A + 5B.
Pembahasan:
Pembagi x² − 1, maka x² = 1.
Maka,
P(x) = ????²⁰²¹ + ????¹⁰¹¹ + ????⁵⁰⁶ + ????²⁵³ + ????¹²⁷
P(x) = (x²)¹⁰¹⁰ ∙ x + (x²)⁵⁰⁵ ∙ x + (x²)²⁵³ + (x²)¹²⁶ ∙ x + (x²)⁶³ ∙ x
Berdasarkan teorema sisa,
s(x) = (1)¹⁰¹⁰ ∙ x + (1)⁵⁰⁵ ∙ x + (1)²⁵³ + (1)¹²⁶ ∙ x + (1)⁶³ ∙ x
s(x) = x + x + 1 + x + x
s(x) = 4x + 1 = Ax + B
Sehingga didapat A = 4 dan B = 1.
Jadi, 4A + 5B = 4 ∙ 4 + 5 ∙ 1 = 16 + 5 = 21.
Jawaban di atas hanya sebagai alternatif jawaban. Adik-adik boleh mengembangan atau menuliskan jawaban dengan gaya bahasa adik-adik sendiri. Terus semangat dan jangan lupa belajar.
Sebagai catatan, artikel materi ini merupakan pendamping bagi para orang tua untuk pembelajaran anaknya, jawaban bersifat terbuka.
Bagi pada siswa dan orang tua dimungkinkan untuk mengeksplorasi jawaban yang lebih baik. Artikel ini tidak mutlak menjamin kebenaran jawaban.***
